Los datos u observaciones de series de tiempo recopiladas sucesivamente durante un periodo presentan una dificultad particular cuando se utiliza la regresión. Una de las suposiciones que por tradición se emplean en la regresión es que los residuos sucesivos son independientes. Esto significa que los residuos no siguen un patrón, los residuos no están altamente correlacionados, y no hay corridas largas de residuos positivos o negativos. En la gráfica 16-10, los residuos aparecen a escala en el eje vertical, y los valores Y , a lo largo del eje horizontal. Observe que hay “corridas” de residuos arriba y debajo de la recta 0. Si calcula la correlación entre residuos sucesivos, es probable que la correlación sea fuerte. AUTOCORRELACIÓN Los residuos sucesivos están correlacionados. Los residuos sucesivos están correlacionados en datos de series de tiempo debido a que un evento de un periodo influye sobre el evento del siguiente. Para explicar esto, el propietario de una mueblería decide obtener una venta especial este mes y gasta una cantidad considerable de dinero en publicidad. Esperaría una correlación entre las ventas y el gasto publicitario, pero no todos los resultados del aumento de publicidad se experimentarán este mes. Es probable que una parte de su efecto se observe en el mes siguiente. En consecuencia, espere una correlación entre los residuos. La relación de regresión en una serie de tiempo se escribe: donde el subíndice t sustituye a i para sugerir que los datos se recopilaron en el tiempo. Si los residuos están correlacionados, se originan problemas cuando se intenta realizar pruebas de hipótesis respecto de los coeficientes de regresión. Asimismo, un intervalo de confianza o un intervalo de proyección, donde se use el error estándar de estimación múltiple, quizá no produzca los resultados correctos. La autocorrelación, reportada como r, es la fuerza de la asociación entre residuos sucesivos. La r tiene el mismo significado que el coeficiente de correlación. Es decir, los valores cercanos a 1.00 o 1.00 indican una asociación fuerte, y los valores cercanos a 0, que no hay asociación. En lugar de realizar de manera directa una prueba de hipótesis en r, se emplea el estadístico de Durbin-Watson. El estadístico de Durbin-Watson, identificado con la letra d, se calcula primero al determinar los residuos por cada observación. Es decir, et (Yt t). Luego, se calcula d mediante la siguiente relación Para determinar el numerador de la fórmula (16-4), “retarde” cada uno de los residuos un periodo y luego eleve al cuadrado la diferencia entre residuos consecutivos. Esta maniobra, a la que también se le puede llamar determinación de las diferencias, toma en cuenta la suma de las observaciones de 2, en lugar de 1, hasta n. En el denominador se elevan al cuadrado los residuos y se suman todas las observaciones n. El valor del estadístico de Durbin-Watson, que varía de 0 a 4, es 2.00 cuando no hay autocorrelación entre los residuos. Cuando el valor de d se acerca a 0, indica una autocorrelación positiva. Los valores mayores que 2 indican una autocorrelación negativa. En la práctica, la autocorrelación casi no se presenta. Para que esto ocurra, los residuos sucesivos tenderían a ser grandes, pero con signos opuestos. Para realizar una prueba de autocorrelación, las hipótesis nula y alternativa son: Recuerde, del capítulo anterior, que r se refiere a la correlación muestral, y que es el coeficiente de correlación entre la población. Los valores críticos de d aparecen en el apéndice B.10. Para determinar el valor crítico, necesita (el nivel de significancia), n (el tamaño muestral) y k (el número de variables independientes).
La regla de decisión de la prueba de DurbinWatson difiere de lo acostumbrado. Como es común, hay un rango de valores donde la hipótesis nula se rechaza y otro donde no se rechaza. Sin embargo, también hay un rango donde la prueba no es concluyente. Es decir, en el rango no concluyente, la hipótesis nula no se rechaza ni se acepta. Para expresarlo de manera más formal: • Los valores menores que dl obligan a rechazar la hipótesis nula. • Los valores mayores que du indican que la hipótesis nula no se debe rechazar. • Los valores de d entre dl y du producen resultados no concluyentes. El subíndice l se refiere al límite inferior de d, y el subíndice u, al límite superior. ¿Cómo interpretar las diversas decisiones de la prueba de correlación residual? Si no se rechaza la hipótesis nula, se concluye que no hay autocorrelación. Los residuos no están correlacionados, no hay autocorrelación y se cumple con la suposición de regresión. No habrá problemas con el valor estimado del error estándar de estimación. Si la hipótesis nula se rechaza, se concluye que hay autocorrelación. El remedio común de la autocorrelación es incluir otra variable de predicción que capture el orden de tiempo. Por ejemplo, puede utilizar la raíz cuadrada de Y en lugar de Y. Esta transformación generará un cambio en la distribución de los residuos. Si el resultado aparece en el rango no concluyente, será necesario recurrir a pruebas más elaboradas, o, de manera conservadora, considerar el rechazo de la hipótesis nula. Un ejemplo ilustrará los detalles de la prueba de Durbin-Watson y cómo se interpretan los resultados. Resumen del capítulo I. Una serie de tiempo es un conjunto de datos durante un periodo. A. La tendencia es la dirección de largo plazo de la serie de tiempo. B. El componente cíclico es la fluctuación por arriba y por debajo de la recta de tendencia de largo plazo durante un periodo mayor. C. La variación estacional es el patrón en una serie de tiempo en un año. Estos patrones tienden a repetirse año tras año en la mayoría de los negocios. D. La variación irregular se divide en dos componentes. 1. Las variaciones episódicas son impredecibles, pero en general se pueden identificar. Un ejemplo es una inundación. 2. Las variaciones residuales son de naturaleza aleatoria. II. Un promedio móvil se utiliza para suavizar la tendencia en una serie de tiempo. III. La ecuación de la tendencia lineal es donde a es la intersección con el eje Y, b es la pendiente de la recta y t es el tiempo codificado. A. La ecuación de la tendencia se determina mediante el principio de los mínimos cuadrados. B. Si la tendencia no es lineal, sino más bien los incrementos tienden a ser un porcentaje constante, los valores Y se convierten en logaritmos y con éstos se determina la ecuación de mínimos cuadrados. IV. Se puede estimar un factor estacional con el método de la razón con el promedio móvil. A. El procedimiento de seis pasos produce el índice estacional de cada periodo. 1. En general, los factores estacionales se calculan por mes o trimestre. 2. El factor estacional se utiliza para ajustar las proyecciones, tomando en cuenta los efectos de la temporada. V. El estadístico de Durbin-Watson (16-4) se utiliza para probar si hay autocorrelación.
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